Geología Estructural - Capítulo 4: Aplicaciones de la proyección estereográfica en ingeniería geológica

La proyección estereográfica proporciona una herramienta fundamental en el campo de la ingeniería geológica. Su principal interés estriba en el hecho de que con ella podemos representar orientaciones (dirección) e inclinación (buzamiento o inmersión) preferentes de elementos que en la naturaleza no se presentan con desarrollos geométricos perfectos, como es el caso de un estrato, donde el plano de techo y de muro presentan irregularidades puntuales aunque con una tendencia general. Además este tipo de representación permite medir los ángulos de forma directa 

Introducción

La proyección estereográfica es un tipo de proyección azimutal muy usado en cristalografía y geología estructural para establecer la relación angular existente entre las caras de los cristales o entre las estructuras geológicas. Todas las proyecciones permiten la representación de objetos tridimensionales en una superficie de dos dimensiones. Cualquiera que sea el sistema de proyección elegido, la representación plana presenta deformaciones que pueden ser lineales, angulares y superficiales. Dependiendo de la finalidad de la representación elegiremos uno u otro tipos de proyección. Por ejemplo, nos puede interesar que los ángulos se proyecten en verdadera magnitud aunque las magnitudes lineales y superficiales sufran deformaciones en mayor o menor grado.

Proyecciones azimutales

Una proyección se dice acimutal cuando proyectamos la esfera sobre un plano, que puede ser tangente a ella o que pase por el ecuador (proyección ecuatorial). Dependiendo de la posición del centro de proyección las proyecciones acimutales pueden ser: gnomónicas, estereográficas, escenográficas y ortográficas. Cada una de estas proyecciones tiene unas propiedades que le hacen más aptas para resolver diferentes problemas. En la tabla 1 se resumen las propiedades fundamentales de las proyecciones más utilizadas en ingeniería geológica.

Tabla 1: Propiedades de las proyecciones azimutales más utilizadas en ing. geológica.

En ingeniería geológica se utilizan fundamentalmente proyecciones acimutales ecuatoriales y en particular la proyección estereográfica ecuatorial. En la figura 1 vemos la proyección de meridianos y paralelos de la esfera en diferentes proyecciones.

Figura 1: Proyecciones: ortográfica, gnomónica y equiareal (de izquierda a derecha)

Proyección estereográfica 

En la proyección estereográfica ecuatorial el plano de proyección pasa por el ecuador y el centro de proyección esta sobre la superficie de la esfera en una recta perpendicular a él. Este tipo de proyección define una inversión en el espacio que transforma los puntos de la esfera en puntos del plano. Además presenta la ventaja de que la proyección de los círculos de la esfera se produce como círculos, lo que hace muy sencillo la construcción de la proyección (figura 2). La proyección estereográfica es conforme, es decir, conserva la verdadera magnitud de los ángulos en la proyección, de ahí que también se denomine proyección equiangular.

Figura 2: Proyección estereográfica de la esfera y falsilla de Wulff

Para trabajar con la proyección estereográfica es preciso conocer, inicialmente, una serie de términos geométricos, que nos permitan definir de forma unívoca cada elemento (figura 3), estos términos nos determinan su orientación. La orientación se define como la posición de un plano o línea en el espacio, referenciado mediante coordenadas geográficas y su relación con el plano horizontal de comparación. La orientación de un elemento queda definida mediante el rumbo y la inclinación:

• Inclinación: Ángulo vertical comprendido entre la horizontal y el plano o línea considerado.
• Rumbo o dirección: Ángulo horizontal comprendido entre una línea y una dirección preestablecida, el norte magnético en geología estructural.

  

  Figura 4.- Proyección estereográfica de un plano inclinado.

Tipos de representaciones estereográficas 

Existen diversas formas de representación de los elementos planos y lineales en la proyección estereográfica. Todos ellos se llevan a cabo mediante el empleo de la falsilla de Wulff que se obtiene a partir de la proyección de los meridianos y paralelos de la esfera (figura 2). 

1. Diagrama de círculos máximos o diagrama beta: Únicamente se utiliza para la representación de elementos planos. Se obtiene por proyección sobre el plano ecuatorial, del círculo máximo de la superficie plana considerada. Este círculo máximo representa la intersección del plano con la esfera (figura 4). En la figura 5.a. se muestra el diagrama de círculos máximos correspondiente al estudio de un macizo rocoso de calcarenitas bioclásticas.

   

   Figura 5.- a) Diagrama de círculos máximos (beta) y b) diagrama de polos (pi).

Diagrama de densidad de polos: La proyección estereográfica de un determinado elemento de la naturaleza, nunca es tan exacta como la de líneas y planos teóricos, ya que presentan irregularidades puntuales, falta de ajuste con la geometría ideal, en muchos casos, y posibles errores de precisión. Esto hace que se produzcan dispersiones que, dependiendo de su magnitud, pueden o no facilitar la interpretación de un polo o un círculo máximo. De ser así y producirse una gran dispersión de datos, será preciso recurrir a un análisis estadístico de una muestra grande de datos con el fin de determinar la dirección y buzamiento predominantes (figura 6).

Este análisis estadístico no se puede realizar mediante la proyección estereográfica ya que se producirá una gran concentración de puntos en la parte central del diagrama (figura 6.b). Para realizar este análisis se recurre a la proyección equiareal, empleando la falsilla de Schmidt, que nos permite el recuento directo de los polos, calcular su valor estadístico por unidad de superficie y determinar las direcciones y buzamiento predominantes (figura 6.a).

Figura 6.- Diagrama de densidad de polos: a) en proyección equiareal y en proyección estereográfica (equiangular).

Usos de la proyección estereográfica en Ingeniería Geológica

1. Aplicaciones en geología estructural: La proyección estereográfica permite la representación en elementos de geología estructural. Los datos empleados se toman en el campo, de forma directa, mediante el empleo de la brújula de geólogo (figura 7.a.). Esta posee una brújula convencional que nos permite tomar las direcciones de los diferentes elementos tomando como referencia el norte magnético y un clinómetro que facilita el ángulo que forma el elemento a medir con respecto al plano horizontal.

Figura 7.- a) Brújula de geólogo

Generalmente el desarrollo de los elementos no es perfecto como ocurre por ejemplo con las diaclasas. En la figura 7.b. se observan juegos de diaclasas en materiales margocalizos que definen planos según direcciones preferentes subverticales (J1 y J2) y normales entre si. Cuando el elemento a medir es un plano, el ángulo de inclinación recibe en geología el nombre de buzamiento (dip), mientras que cuando se trata de una recta la inclinación recibe el nombre de inmersión (plunge). 

1. 

   Figura 8.- Elementos de un plano y una recta

2. Análisis cinemático de roturas en roca: En el estudio de taludes excavados en macizos rocosos suele ser muy útil la determinación de las discontinuidades existentes para su posterior representación estereográfica junto con la representación del propio talud. Observando las orientaciones de los juegos de discontinuidades y del talud puede llegarse a deducir mediante un análisis sencillo cual será el tipo de rotura predominante (figura 9). Además, la proyección estereográfica nos permitirá en algunos de estos casos obtener las magnitudes angulares necesarias para el cálculo del factor de seguridad del talud. Al representar en proyección estereográfica la orientación del talud y de las discontinuidades existentes en el mismo se puede llegar a intuir un tipo de rotura plana (figura 9.a.) Siempre que exista alguna familia de discontinuidades de dirección similar a la del talud pero buzamiento menor que este. La dirección del movimiento tras producirse la rotura será perpendicular a la dirección del talud y en el sentido de buzamiento del mismo. 

   

   Figura 9.- Tipos de roturas en macizos rocosos y su representación estereográfica.

   Si se representa en proyección estereográfica la orientación del talud a estudiar y de los juegos de diaclasas existentes en el mismo podremos estimar la posibilidad de ocurrencia de una rotura en cuña cuando existen dos familias de discontinuidades con direcciones oblicuas respecto a la dirección del talud. La posible rotura en cuña (figura 9.b) quedará comprendida entre la de las dos familias de discontinuidades. 
   La dirección de avance de la cuña será la de la línea de intersección de ambos planos de discontinuidad, cuya inmersión y dirección se obtienen directamente de la representación estereográfica. 
   Si una vez representados los datos de las familias de discontinuidades observamos que existen dos familias de discontinuidades con direcciones subparalelas a las del talud, una de ellas con un buzamiento muy suave y en el mismo sentido que el talud y una segunda familia con un gran buzamiento opuesto al del talud y ligeramente perpendicular al juego anterior, la primera familia delimitará los bloques rocosos y proporcionará la superficie sobre la que deslizarán o girarán los bloques en función del buzamiento que posean, generando un tipo de rotura con vuelco (figura 9.c).

Conclusiones

La proyección estereográfica o equiangular tiene la gran ventaja de que con una sola proyección las relaciones angulares entre rectas y planos, que suponen generalmente los datos más significativos, pueden determinarse de forma mucho más sencilla y directa. La proyección estereográfica proporciona una herramienta fundamental en el análisis de estructuras planas y lineales en las que no interesa tanto su posición real en el sistema geológico como su la posición relativa de unas respecto a otras. 

La posibilidad de trabajar con la proyección del círculo máximo (diagrama beta) o con la proyección de los polos (diagrama pi) nos proporciona dos formas diferentes de representar los mismos datos en función del problema que estemos resolviendo. Por contra, su principal deficiencia estriba en que dicha proyección no permite llevar a cabo un tratamiento estadístico de los datos, siendo entonces necesario recurrir a la proyección equiareal para la determinación de los diagramas de concentración de polos que nos dan las orientaciones preferentes de los planos o rectas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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